Tra le Risk Adjusted Performarce Measure (RAPM) l’indicatore più ripreso e modificato è sicuramente l’indice di Sharpe. Tra le sue trasformazioni più significative una in particolare, l’indice di Modigliani, permette di confrontare il rendimento di diversi strumenti parificandone il livello di rischio rispetto ad un benchmark comune.
L’indice di Modigliani (o di Modigliani-Modigliani) è una trasformazione lineare dell’indice di Sharpe. Esprime il rendimento che uno strumento avrebbe teoricamente realizzato se avesse avuto la stessa volatilità del suo benchmark conservando il proprio rapporto rendimento-rischio.
Analiticamente è calcolato come segue:
dove:
- R è la media semplice dei rendimenti passati del portafoglio;
- σ é la volatilità storica dell’asset;
- Rf è la media semplice dei rendimenti passati di un investimento al tasso risk-free;
- σb é la volatilità storica dei rendimenti del benchmark di mercato;
- SR é l’indice di Sharpe.
Il benchmark tipicamente rappresenta il mercato di riferimento attribuendo all’indice un valore di confronto semplice ed intuitivo. Se utilizziamo questo indicatore nella valutazione comparata delle performance tra diversi strumenti, inoltre, possiamo ignorare il secondo termine rappresentato dal rendimento risk free ottenendo una definizione dell’indice data dalla semplice moltiplicazione dell’indice di Sharpe per la volatilità del benchmark:
Posto un piano rischio-rendimento l’indice di Modigliani è il livello di rendimento ottenuto proiettando le coordinate dello strumento lungo la retta che lo unisce con il risk-free fino alla standard deviation del benchmark, come rappresentato nel grafico sottostante.
Questo indicatore è particolarmente utile per rendere più semplice il confronto tra le performance di strumenti aventi lo stesso benchmark ma livelli di rischio differenti, o tra uno o più strumenti e il proprio benchmark. Essendo semplicemente una trasformazione lineare dell’indice di Sharpe però i risultati di tale confronto sono del tutto simili a quelli ottenuti tramite quest’ultimo, anche se i valori conseguiti tramite l’indice di Modigliani sono più semplici ed interpretabili.
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